\( \newcommand{\cat}[1] {\mathrm{#1}} \newcommand{\catobj}[1] {\operatorname{Obj}(\mathrm{#1})} \newcommand{\cathom}[1] {\operatorname{Hom}_{\cat{#1}}} \newcommand{\multiBetaReduction}[0] {\twoheadrightarrow_{\beta}} \newcommand{\betaReduction}[0] {\rightarrow_{\beta}} \newcommand{\betaEq}[0] {=_{\beta}} \newcommand{\string}[1] {\texttt{"}\mathtt{#1}\texttt{"}} \newcommand{\symbolq}[1] {\texttt{`}\mathtt{#1}\texttt{'}} \newcommand{\groupMul}[1] { \cdot_{\small{#1}}} \newcommand{\groupAdd}[1] { +_{\small{#1}}} \newcommand{\inv}[1] {#1^{-1} } \newcommand{\bm}[1] { \boldsymbol{#1} } \require{physics} \require{ams} \require{mathtools} \) Math and science::Analysis::Tao, measure::01. Jordan measure Closures, interiors and Jordan measure Proof outline: see other side Proof outline: see other side Proof outline: see other side Proof outline: see other side (4), shows that Jordan outer measure (and inner measure) do not possess finite additivity for non-measurable sets. Read more...

\( \newcommand{\cat}[1] {\mathrm{#1}} \newcommand{\catobj}[1] {\operatorname{Obj}(\mathrm{#1})} \newcommand{\cathom}[1] {\operatorname{Hom}_{\cat{#1}}} \newcommand{\multiBetaReduction}[0] {\twoheadrightarrow_{\beta}} \newcommand{\betaReduction}[0] {\rightarrow_{\beta}} \newcommand{\betaEq}[0] {=_{\beta}} \newcommand{\string}[1] {\texttt{"}\mathtt{#1}\texttt{"}} \newcommand{\symbolq}[1] {\texttt{`}\mathtt{#1}\texttt{'}} \newcommand{\groupMul}[1] { \cdot_{\small{#1}}} \newcommand{\groupAdd}[1] { +_{\small{#1}}} \newcommand{\inv}[1] {#1^{-1} } \newcommand{\bm}[1] { \boldsymbol{#1} } \require{physics} \require{ams} \require{mathtools} \) Math and science::Analysis::Tao, measure::02. Lebesgue measure Lebesgue outer measure is between the Jordan inner and outer measures This relation is useful to ground one's mental model of Lebesgue measure. \[ m_{*,(J)}(F) \le m^*(F) \le m^{*,(J)}(F) \] The proof outline for the rightmost inequality is simple. Read more...

\( \newcommand{\cat}[1] {\mathrm{#1}} \newcommand{\catobj}[1] {\operatorname{Obj}(\mathrm{#1})} \newcommand{\cathom}[1] {\operatorname{Hom}_{\cat{#1}}} \newcommand{\multiBetaReduction}[0] {\twoheadrightarrow_{\beta}} \newcommand{\betaReduction}[0] {\rightarrow_{\beta}} \newcommand{\betaEq}[0] {=_{\beta}} \newcommand{\string}[1] {\texttt{"}\mathtt{#1}\texttt{"}} \newcommand{\symbolq}[1] {\texttt{`}\mathtt{#1}\texttt{'}} \newcommand{\groupMul}[1] { \cdot_{\small{#1}}} \newcommand{\groupAdd}[1] { +_{\small{#1}}} \newcommand{\inv}[1] {#1^{-1} } \newcommand{\bm}[1] { \boldsymbol{#1} } \require{physics} \require{ams} \require{mathtools} \) Math and science::Analysis::Tao, measure::02. Lebesgue measure Lebesgue outer measure is between the Jordan inner and outer measures This relation is useful to ground one's mental model of Lebesgue measure. \[ m_{*,(J)}(F) \le m^*(F) \le m^{*,(J)}(F) \] The proof outline for the rightmost inequality is simple. Read more...

最近、なんとなく生活習慣が崩れてきている。 原因は分からない。 それに伴って、健康に良くない食べ物を食べがちになったことを気がする。 時間がすぎれば、自然と戻るといいな。

今朝、起きたら、部屋にクモがいることに気づいた。 逃そうと思って、近くに置いた空き缶と紙でクモを捕まえた。 ベランダまで持って行って、そこから飛ばしてみた。 しかし、クモは丼だだけでなく、空き缶の中にあったのふたも一緒に飛ばしちゃった。 ふたは下のアパートのベランダに落ちた。 今から下のアパートに住んでいる方に謝るため連絡する。

\( \newcommand{\cat}[1] {\mathrm{#1}} \newcommand{\catobj}[1] {\operatorname{Obj}(\mathrm{#1})} \newcommand{\cathom}[1] {\operatorname{Hom}_{\cat{#1}}} \newcommand{\multiBetaReduction}[0] {\twoheadrightarrow_{\beta}} \newcommand{\betaReduction}[0] {\rightarrow_{\beta}} \newcommand{\betaEq}[0] {=_{\beta}} \newcommand{\string}[1] {\texttt{"}\mathtt{#1}\texttt{"}} \newcommand{\symbolq}[1] {\texttt{`}\mathtt{#1}\texttt{'}} \newcommand{\groupMul}[1] { \cdot_{\small{#1}}} \newcommand{\groupAdd}[1] { +_{\small{#1}}} \newcommand{\inv}[1] {#1^{-1} } \newcommand{\bm}[1] { \boldsymbol{#1} } \require{physics} \require{ams} \require{mathtools} \) Math and science::Analysis::Tao, measure::02. Lebesgue measure Lebesgue outer measure. Finite additivity (for separated sets) For Lebesgue outer measure, we left Pallet Town, so to speak, with just three properties: the measure of an empty set is zero, monotonicity and [something]. Read more...

\( \newcommand{\cat}[1] {\mathrm{#1}} \newcommand{\catobj}[1] {\operatorname{Obj}(\mathrm{#1})} \newcommand{\cathom}[1] {\operatorname{Hom}_{\cat{#1}}} \newcommand{\multiBetaReduction}[0] {\twoheadrightarrow_{\beta}} \newcommand{\betaReduction}[0] {\rightarrow_{\beta}} \newcommand{\betaEq}[0] {=_{\beta}} \newcommand{\string}[1] {\texttt{"}\mathtt{#1}\texttt{"}} \newcommand{\symbolq}[1] {\texttt{`}\mathtt{#1}\texttt{'}} \newcommand{\groupMul}[1] { \cdot_{\small{#1}}} \newcommand{\groupAdd}[1] { +_{\small{#1}}} \newcommand{\inv}[1] {#1^{-1} } \newcommand{\bm}[1] { \boldsymbol{#1} } \require{physics} \require{ams} \require{mathtools} \) Math and science::Analysis::Tao, measure::02. Lebesgue measure Lebesgue outer measure. Finite additivity (for separated sets) For Lebesgue outer measure, we left Pallet Town, so to speak, with just three properties: the measure of an empty set is zero, monotonicity and countable subadditivity. Read more...

数日前に、八百屋でフドウを買った。こんなに美味しい果物があることを冬には忘れてしまっていた。 ネットで調べて、デラウエアというふどうだ。 もう全部食べちゃった。数日前と言ったけど、今考えると、一昨日買ったばかりだった。 今日も八百屋に行くつもりで、デラウエアブドウが売っていることを願う。

今日は雨。 雨だから、公園を走らない。 走るのは好きだけど、実はちょっとほっとした。 残念なことに、朝に走った日の方は充実な一日になる。 今日はだらだらと仕事をすることになると思う。

久しぶりに日記を書く。 五年前の私が今の私の日本能力を見たとしたら、がっかりはしないけど、予想していたよりは上達しなかったと考えるだろう。 今の私は他のことに集中していたと言い訳するであろうけれど、この五年間、少しだけでも日本語を勉強し続けて日本語能力を維持していれば良かったというのは賛成だ。 今回は、どのぐらい向上できるのだろう。 やれるだけ頑張ったら、これから五年後の私はがっかりしないと思う。